減衰振動:Damped Oscillation

運動方程式

 流体中のバネ振り子のように、速度に比例する抵抗が働く振動系を考える。 おもりの質量を m 、バネ定数を k 、おもりの平衡の位置からのズレを x 、 速度に比例する抵抗を 2 m g dx/dt と置くとき、 運動方程式は次の様になる。

両辺を m で割ると、次式を得る。

ただし、  と置いた。

(2) 式は 2 階の常微分方程式であるが、 次のように 1 階の連立常微分方程式と見なすこともできる。

運動方程式の解

 運動方程式 (2) を解いてみよう。
解を x (t ) = A exp ( c t ) と仮定して、(2) に代入する。

(注)cが実数の場合、指数関数は時間に関して単調だが、cが虚数になると周期的になる。 複素数に拡張した指数関数と三角関数の関係は で与えられる。

よって、

(5) を特性方程式という。 (5) の根を特性根とよび、 解の振る舞いを特徴づける。

(6) 式より一般解は、次の(7-a)のようになる。 ただし、重根の場合は振幅 A が時間の関数であるとして、 A に対する方程式を導き、解くと(7-b)を得る。

オイラーの公式を利用すると、上の式は三角関数で次のように表せる。

ここで、物理的変位を表す x は実数であることに注意しよう。

減衰振動を聞く

減衰率g=0.5、振動数440Hzの減衰振動、 、のサウンド: 減衰振動の音

440Hzの音はa1(ラ)で、標準音とよばる。演奏会前には標準音で音合わせをする。 また、NHKの時報では440Hzと880Hzの音が使われている。

減衰振動を見る

下図は、相空間(x-v)に減衰振動のベクトル場を表現し、 初期条件:x(0)=4 , v(0)=0 から始まる解曲線を赤線で示した。 減衰率 g をパラメータとして0 から増大させ、臨界減衰にいたる様子が観察できる。


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