1次元写像のLyapunov数

 1次元写像 : x(t+1) = f( x(t) ) , t=0,1,2,3, . . . 
の軌道不安定性(初期値に関する鋭敏な依存性)を定量化したものがLyapunov数 です。
誤差εが一回の写像で何倍に拡大されるかは次の量、local expansion rate:λ(x)、で表せます。

これを平均したものが次式で、Lyapunov(リヤプノフ)数といいます。

 以下のアプレットの PLOT ボタンをクリックすると、ロジスティックマップ:x(t+1) = a x(t) ( 1 - x(t) ), 0 =< x(t) =<1 , 0 =< a =< 4:のLyapunov数がパラメータaを横軸にとり描かれます。

 Lyapunov 数の計算は、最初の nt 時刻の軌道をアタラクタに落ちるまでの遷移として捨て、後の n 時刻の軌道に沿ってlocal expansion rateを平均しました。
 また、描かれたグラフをクリックすると、その場所のパラメータ a の値が a=の欄に表示されます。

 a=1で、それまで固定点アトラクタであった原点が不安定になり、新たな固定点 x*=(1-1/a) が安定になります。このことを反映してLyapunov数はa=1でいったんゼロになります。同様に固定点が周期倍分岐で不安低化し、安定な2周期点が現れるa=3でもLyapunov数はゼロになります。ひきつづく周期倍分岐点でLyapunov数はゼロになり、それらが a*=3.569944...... に収束して行きます。


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