Mandelbrot set と Julia set

Mandelbrot 集合の描画には、機種・ブラウザによっては、少々時間がかかる場合があります。

Mandelbrot 集合とは、複素力学系 z(t+1) = z(t)^2 + c ( t= 0, 1, 2, 3, ・・・)におけるパラメータ c(複素数)の集合で、原点から始まる軌道が発散しないとき、 c は Mandelbrot 集合に属します。

上図の Mandelbrot 集合は、原点から始まる軌道の振る舞いによって次のように着色しました。 周期的振る舞いをするようになるときは、右の図に示したような色で、その周期によって色分けをしました。周期が9以上か非周期的な場合は黒で表しました。

上図の左側に Mandelbrot 集合が描かれます。その集合の任意の点をマウスでクリックすると、対応するJulia 集合が上図の右側に描かれます。

Julia 集合とは、複素力学系 z(t+1) = z(t)^2 + c (t = 0, 1, 2, 3, ・・・)の初期値 z(0) の集合で、その初期値から始まる軌道が発散しないとき、その初期値 z(0) はJulia集合に属します。したがって、Julia 集合はパラメータ c ごとに定まります。特に c = 0 の場合は、 z(t+1) = z (t)^2 ですから、単位円盤内から始まった軌道は原点に収束していきます。したがって、単位円盤が Julia 集合になります。

しかし、c がゼロでない場合の Julia 集合は思いもかけない複雑かつ奇妙な形をしています。 上のアップレットで確認してみて下さい。

Mandelbrot 集合に属するパラメータ c に対応する Julia 集合は連結な集合であり、Mnadelbrot 集合に属さないパラメータ c に対応する Julia 集合は非連結で、カントール集合的です。


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