等速円運動と単振動

等速円運動

青:速度ベクトル、赤:加速度ベクトル

質点が半径 r の円周上を一定のスピード v で運動しているとする。 図のように座標を設定しよう。また、質点は時刻0に位置 ( r , 0 ) から運動を開始したとする。角速度(単位時間に質点が進む角度)を ω( = v/r )とすると、質点の位置ベクトル r
     r = r( cos ωt , sin ωt )     と表せる。

位置ベクトルを微分して速度ベクトル v を求める。
     v = ω r ( -sin ωt , cos ωt )
r・v=0 より位置ベクトルと速度ベクトルは直交することが確認できる。

さらに、速度ベクトル v を微分し加速度ベクトル a を求める。
     a = -ω2 r ( cos ωt , sin ωt )
これは位置ベクトルを用いて、 a = -ω2 r  とも表せる。 したがって、等速円運動では加速度はいつも円の中心を向く。 また、a・v=0 より、速度と加速度は直交することも確認できる。

単振動

等速円運動の射影は、いかなる運動であろうか? 等速円運動の y 座標軸への射影を考えよう。
     y = r sin ωt
その加速度は、  ay = - ω2 r sin ωt =  - ω2 y   であるから、加速度 ay は変位 y に比例している。運動方程式(F = ma)より、 これは変位に比例する復元力が働いていることを意味する。
 以上より、等速円運動の射影は変位に比例する復元力が働く振動、 つまり単振動(単純な振動:simple oscillation)であることが分かる。


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